Algebra Beispiele

$- \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3 < 0$

Schritt 1

Schreibe $- \frac{1}{2} \cdot | 4 x - 5 | + 3 < 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$4 x - 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \geq 5$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{5}{4}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $4 x - 5$ nicht negativ ist.

$- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$4 x - 5 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x < 5$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $4 x - 5$ negativ ist.

$- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

${\begin{cases} - 1 (2 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ .

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Schritt 1.8.1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.4.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 6}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.5.2

Addiere $5$ und $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x) - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x + 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.9.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 1 (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.7

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 5$ .

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Schritt 1.9.1.7.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.7.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 6}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.5.2

Addiere $- 5$ und $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{1}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $- 2 x + \frac{11}{2} < 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{11}{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x < - \frac{11}{2}$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x < - \frac{11}{2}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x < - \frac{11}{2}$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x > - \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x > - \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 2.2.3.3

Multipliziere $- \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 2.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x > 1 (\frac{11}{2}) \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{11}{2}$ mit $1$ .

$x > \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{11}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{11}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x > \frac{11}{4}$

Schritt 3

Löse $2 x + \frac{1}{2} < 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < - \frac{1}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < - \frac{1}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x < - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x < - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x < - \frac{1}{4}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - \frac{1}{4}$ oder $x > \frac{11}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{1}{4} or x > \frac{11}{4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (\frac{11}{4}, \infty)$

Schritt 6