Algebra Beispiele

$\frac{1}{4} \cdot \ln (16 q^{8}) - \ln (3) = \ln (24)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (16 q^{8})$ .

$\frac{\ln (16 q^{8})}{4} - \ln (3) = \ln (24)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\frac{\ln (16 q^{8})}{4} - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{\ln (16 q^{8})}{4} - \ln (3) - \ln (24)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $\frac{\ln (16 q^{8})}{4}$ als $\frac{1}{4} \ln (16 q^{8})$ um.

$\frac{1}{4} \ln (16 q^{8}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (16 q^{8})$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(16 q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.3

Wende die Produktregel auf $16 q^{8}$ an.

$\ln (16^{\frac{1}{4}} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.4

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\ln ({(2^{4})}^{\frac{1}{4}} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2^{4 (\frac{1}{4})} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (2^{4 (\frac{1}{4})} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2^{1} {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.7

Berechne den Exponenten.

$\ln (2 {(q^{8})}^{\frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(q^{8})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 3.1.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2 q^{8 (\frac{1}{4})}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.1.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\ln (2 q^{4 (2) \frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (2 q^{4 \cdot 2 \frac{1}{4}}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2 q^{2}) - \ln (3) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 q^{2}}{3}) - \ln (24) = 0$

Schritt 3.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2 q^{2}}{3}}{24}) = 0$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{2 q^{2}}{3} \cdot \frac{1}{24}) = 0$

Schritt 3.1.5

Kombinieren.

$\ln (\frac{2 q^{2} \cdot 1}{3 \cdot 24}) = 0$

Schritt 3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $24$ .

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 q^{2} \cdot 1$ heraus.

$\ln (\frac{2 (q^{2} \cdot 1)}{3 \cdot 24}) = 0$

Schritt 3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 24$ heraus.

$\ln (\frac{2 (q^{2} \cdot 1)}{2 (3 \cdot 12)}) = 0$

Schritt 3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{2 (q^{2} \cdot 1)}{2 (3 \cdot 12)}) = 0$

Schritt 3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{q^{2} \cdot 1}{3 \cdot 12}) = 0$

Schritt 3.1.7

Multipliziere.

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Schritt 3.1.7.1

Mutltipliziere $q^{2}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{q^{2}}{3 \cdot 12}) = 0$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$\ln (\frac{q^{2}}{36}) = 0$

Schritt 4

Um nach $q$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{q^{2}}{36})} = e^{0}$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{q^{2}}{36}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{q^{2}}{36}$

Schritt 6

Löse nach $q$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{q^{2}}{36} = e^{0}$ um.

$\frac{q^{2}}{36} = e^{0}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $36$ .

$36 \frac{q^{2}}{36} = 36 e^{0}$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 \frac{q^{2}}{36} = 36 e^{0}$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$q^{2} = 36 e^{0}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $36 e^{0}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$q^{2} = 36 \cdot 1$

Schritt 6.3.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$q^{2} = 36$

Schritt 6.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$q = \pm \sqrt{36}$

Schritt 6.5

Vereinfache $\pm \sqrt{36}$ .

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Schritt 6.5.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$q = \pm \sqrt{6^{2}}$

Schritt 6.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$q = \pm 6$

Schritt 6.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$q = 6$

Schritt 6.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$q = - 6$

Schritt 6.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$q = 6, - 6$