Algebra Beispiele

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log_{12} (4 n^{2})$ .

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Schritt 2

Um $\log_{12} (n + 14)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\log_{12} (n + 14)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Schritt 4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log_{12} (n + 14)$ .

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1.1

Vereinfache $2 \log_{12} (n + 14)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Schritt 5.1.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

Schritt 5.1.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ als $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ um.

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

Schritt 5.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.4.1

Wende die Produktregel auf $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ an.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.4.2

Wende die Produktregel auf $4 {(n + 14)}^{2}$ an.

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.7

Berechne den Exponenten.

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.9

Vereinfache.

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Schritt 5.1.11.2

Multipliziere die Exponenten in ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.1.11.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Schritt 5.1.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Schritt 5.1.11.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

Schritt 5.1.12

Vereinfache.

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

Schritt 5.1.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

Schritt 5.1.14

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.14.1

Bewege $n$ .

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

Schritt 5.1.14.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

Schritt 6

Schreibe $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

Schritt 7

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ um.

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

Schritt 7.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$2 n^{2} + 28 n = 144$

Schritt 7.3

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

Schritt 7.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 n^{2} + 28 n - 144$ heraus.

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Schritt 7.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 n^{2}$ heraus.

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

Schritt 7.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $28 n$ heraus.

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

Schritt 7.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 144$ heraus.

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Schritt 7.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 n^{2} + 2 (14 n)$ heraus.

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Schritt 7.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ heraus.

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $n^{2} + 14 n - 72$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 72$ und deren Summe $14$ ist.

$- 4, 18$

Schritt 7.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

Schritt 7.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

Schritt 7.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

Schritt 7.6

Setze $n - 4$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 7.6.1

Setze $n - 4$ gleich $0$ .

$n - 4 = 0$

Schritt 7.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n = 4$

Schritt 7.7

Setze $n + 18$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $n + 18$ gleich $0$ .

$n + 18 = 0$

Schritt 7.7.2

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n = - 18$

Schritt 7.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ wahr machen.

$n = 4, - 18$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ nicht erfüllen.

$n = 4$