Algebra Beispiele

$f (x) = 3 (\frac{x - 9}{2}) + 20$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 (\frac{x - 9}{2}) + 20$ als Gleichung.

$y = 3 (\frac{x - 9}{2}) + 20$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 (\frac{y - 9}{2}) + 20$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 (\frac{y - 9}{2}) + 20 = x$ um.

$3 (\frac{y - 9}{2}) + 20 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache $3 (\frac{y - 9}{2}) + 20$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{y - 9}{2}$ .

$\frac{3 (y - 9)}{2} + 20 = x$

Schritt 3.2.2

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (y - 9)}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} = x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.3.1

Kombiniere $20$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (y - 9)}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} = x$

Schritt 3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (y - 9) + 20 \cdot 2}{2} = x$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y + 3 \cdot - 9 + 20 \cdot 2}{2} = x$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$\frac{3 y - 27 + 20 \cdot 2}{2} = x$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$\frac{3 y - 27 + 40}{2} = x$

Schritt 3.2.4.4

Addiere $- 27$ und $40$ .

$\frac{3 y + 13}{2} = x$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{3 y + 13}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y + 13}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y + 13 = x \cdot 2$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y + 13 = 2 x$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 2 x - 13$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2 x - 13$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2 x - 13$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 13}{3}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 13}{3}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 13}{3}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 (\frac{x - 9}{2}) + 20$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20)}{3} - \frac{13}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x - 9}{2}$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 (x - 9)}{2} + 20) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 (x - 9)}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2}) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $20$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 (x - 9)}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2}) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 (x - 9) + 20 \cdot 2}{2}) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 x + 3 \cdot - 9 + 20 \cdot 2}{2}) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 x - 27 + 20 \cdot 2}{2}) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 x - 27 + 40}{2}) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.5.4

Addiere $- 27$ und $40$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 x + 13}{2}) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{2 (\frac{3 x + 13}{2}) - 13}{3}$

Schritt 5.2.4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{3 x + 13 - 13}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + 13 - 13$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Subtrahiere $13$ von $13$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 (\frac{x - 9}{2}) + 20) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{(\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) - 9}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.1.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 x}{3} + \frac{- 13 - 9 \cdot 3}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 x}{3} + \frac{- 13 - 27}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Subtrahiere $27$ von $- 13$ .

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 x}{3} + \frac{- 40}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 x - 40}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 40$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 (x) - 40}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 40$ heraus.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 x + 2 \cdot - 20}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 20$ heraus.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{\frac{2 (x - 20)}{3}}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{2 (x - 20)}{3} \cdot \frac{1}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{2 (x - 20)}{3} \cdot \frac{1}{2}) + 20$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{x - 20}{3}) + 20$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = 3 (\frac{x - 20}{3}) + 20$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = x - 20 + 20$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 20 + 20$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 20$ und $20$ .

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 (\frac{x - 9}{2}) + 20$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - \frac{13}{3}$