Algebra Beispiele

$x^{2} = 2 - | x |$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 - | x | = x^{2}$ um.

$2 - | x | = x^{2}$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- | x | = x^{2} - 2$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- | x | = x^{2} - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- | x | = x^{2} - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- | x |}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| x |}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $| x |$ durch $1$ .

$| x | = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$| x | = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$| x | = - x^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.3.1.3

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$| x | = - x^{2} + 2$

Schritt 4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- x^{2} + 2)$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = - x^{2} + 2$

Schritt 5.2

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + x^{2} = 2$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + x^{2} - 2 = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$u + u^{2} - 2 = 0$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $u + u^{2} - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 5.4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 5.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 5.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 5.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 5.9

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - (- x^{2} + 2)$

Schritt 5.10

Vereinfache $- (- x^{2} + 2)$ .

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Schritt 5.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - - x^{2} - 1 \cdot 2$

Schritt 5.10.2

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 5.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 x^{2} - 1 \cdot 2$

Schritt 5.10.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x = x^{2} - 1 \cdot 2$

Schritt 5.10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = x^{2} - 2$

Schritt 5.11

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} = - 2$

Schritt 5.12

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} + 2 = 0$

Schritt 5.13

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.13.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x - x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 5.13.1.1

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x + 2 = 0$

Schritt 5.13.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

Schritt 5.13.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

Schritt 5.13.1.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 5.13.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 5.13.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 5.13.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.13.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.13.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 5.13.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 5.13.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 5.14

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 5.15

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.15.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.15.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5.16

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.16.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.16.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.17

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 5.18

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 2, 2, - 1$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $x^{2} = 2 - | x |$ nicht erfüllen.

$x = 1, - 1$