Algebra Beispiele

$729 a^{6} - 64 b^{6}$

Schritt 1

Schreibe $729 a^{6}$ als ${(9 a^{2})}^{3}$ um.

${(9 a^{2})}^{3} - 64 b^{6}$

Schritt 2

Schreibe $64 b^{6}$ als ${(4 b^{2})}^{3}$ um.

${(9 a^{2})}^{3} - {(4 b^{2})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 9 a^{2}$ und $b = 4 b^{2}$ .

$(9 a^{2} - (4 b^{2})) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Entferne die Klammern.

$(9 a^{2} - 1 \cdot 4 b^{2}) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 4.2

Schreibe $9 a^{2}$ als ${(3 a)}^{2}$ um.

$({(3 a)}^{2} - 1 \cdot 4 b^{2}) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 4.3

Schreibe $4 b^{2}$ als ${(2 b)}^{2}$ um.

$({(3 a)}^{2} - {(2 b)}^{2}) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 a$ und $b = 2 b$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - (2 b)) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ({(9 a^{2})}^{2} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $9 a^{2}$ an.

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (9^{2} {(a^{2})}^{2} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 6

Potenziere $9$ mit $2$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 {(a^{2})}^{2} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 7

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{2}$ .

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Schritt 7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{2 \cdot 2} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

Schritt 8

Wende die Produktregel auf $4 b^{2}$ an.

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 4^{2} {(b^{2})}^{2})$

Schritt 9

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 16 {(b^{2})}^{2})$

Schritt 10

Multipliziere die Exponenten in ${(b^{2})}^{2}$ .

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Schritt 10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 16 b^{2 \cdot 2})$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 16 b^{4})$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Schreibe $81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 16 b^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 11.1.1

Forme den mittleren Term um.

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 2 (9 a^{2}) (4 b^{2}) - 36 a^{2} b^{2} + 16 b^{4})$

Schritt 11.1.2

Ordne Terme um.

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 2 (9 a^{2}) (4 b^{2}) + 16 b^{4} - 36 a^{2} b^{2})$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ({(9 a^{2} + 4 b^{2})}^{2} - 36 a^{2} b^{2})$

Schritt 11.1.4

Schreibe $36 a^{2} b^{2}$ als ${(6 a b)}^{2}$ um.

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ({(9 a^{2} + 4 b^{2})}^{2} - {(6 a b)}^{2})$

Schritt 11.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9 a^{2} + 4 b^{2}$ und $b = 6 a b$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ((9 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b) (9 a^{2} + 4 b^{2} - (6 a b)))$

Schritt 11.1.6

Vereinfache.

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Schritt 11.1.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ((9 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 6 (a b)))$

Schritt 11.1.6.2

Entferne die Klammern.

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ((9 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 6 a b))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (9 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 6 a b)$