Algebra Beispiele

$\ln (x^{2} - 9) + \ln (9) = \ln (40)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x^{2} - 9) \cdot 9) = \ln (40)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x^{2} \cdot 9 - 9 \cdot 9) = \ln (40)$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\ln (9 \cdot x^{2} - 9 \cdot 9) = \ln (40)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$\ln (9 x^{2} - 81) = \ln (40)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$9 x^{2} - 81 = 40$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $81$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} = 40 + 81$

Schritt 3.1.2

Addiere $40$ und $81$ .

$9 x^{2} = 121$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = 121$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = 121$ durch $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{121}{9}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{121}{9}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{121}{9}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{121}{9}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{121}{9}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{121}{9}}$ als $\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{11^{2}}}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{11}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{11}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 3.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{11}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{11}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{11}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{11}{3}, - \frac{11}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{11}{3}, - \frac{11}{3}$

Dezimalform:

$x = 3.\overline{6}, - 3.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 3 \frac{2}{3}, - 3 \frac{2}{3}$