Algebra Beispiele

${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} i)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$ um.

$(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{3}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{1}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{3}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{\sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{9} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9} - \frac{2^{1} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{3}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{\sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{1} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $- \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$ .

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Schritt 3.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + 1 \frac{i \sqrt{2}}{3} \frac{i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{3}$

Schritt 3.1.7.3

Mutltipliziere $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.8

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.9

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9}$

Schritt 3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{9}$

Schritt 3.1.8.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.8.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Schritt 3.1.8.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Schritt 3.1.8.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Schritt 3.1.8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.8.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Schritt 3.1.8.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{1}}{9}$

Schritt 3.1.8.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 1 \cdot 2}{9}$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2}{9}$

Schritt 3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2}{9}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $\frac{2 i}{9}$ von $- \frac{2 i}{9}$ .

$\frac{0}{9} - 2 \frac{2 i}{9}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$0 - 2 \frac{2 i}{9}$

Schritt 4.2

Multipliziere $- 2 \frac{2 i}{9}$ .

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 i}{9}$ .

$0 + \frac{- 2 (2 i)}{9}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 + \frac{- 4 i}{9}$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{4 i}{9}$

Schritt 5

Subtrahiere $\frac{4 i}{9}$ von $0$ .

$- \frac{4 i}{9}$