Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$ um.

$\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2} = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{3}}{2} = x - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $2 (x - \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 3.5.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 2 x - 1$

Schritt 3.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.7.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 5.2.7.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.2.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{2 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x - 1})}^{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x - 1}}^{3}$ als $2 x - 1$ um.

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Schritt 5.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x - 1}$ als ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- \frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$