Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{3} {(x + 7)}^{3} - 5$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{3} - 5$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{3} - 5 = x$ um.

$\frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{3} - 5 = x$

Schritt 2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{3} \cdot {(y + 7)}^{3} = x + 5$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(y + 7)}^{3}$ .

$\frac{{(y + 7)}^{3}}{3} = x + 5$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{{(y + 7)}^{3}}{3} = 3 (x + 5)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{{(y + 7)}^{3}}{3} = 3 (x + 5)$

Schritt 2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 7)}^{3} = 3 (x + 5)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $3 (x + 5)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(y + 7)}^{3} = 3 x + 3 \cdot 5$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

${(y + 7)}^{3} = 3 x + 15$

Schritt 2.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y + 7 = \sqrt[3]{3 x + 15}$

Schritt 2.7

Vereinfache $\sqrt[3]{3 x + 15}$ .

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Schritt 2.7.1

Forme um.

$y + 7 = 0 + 0 + \sqrt[3]{3 x + 15}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 7 = \sqrt[3]{3 x + 15}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 15$ heraus.

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$y + 7 = \sqrt[3]{3 (x) + 15}$

Schritt 2.7.3.2

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$y + 7 = \sqrt[3]{3 x + 3 \cdot 5}$

Schritt 2.7.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 5$ heraus.

$y + 7 = \sqrt[3]{3 (x + 5)}$

Schritt 2.8

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{3 ((\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) + 5)} - 7$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{3 ((\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) + 5)} - 7$ .

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Schritt 4.2.3.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{3 (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} + 0)} - 7$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{3 (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3})} - 7$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{\frac{3}{3} \cdot {(x + 7)}^{3}} - 7$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und ${(x + 7)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{\frac{3 {(x + 7)}^{3}}{3}} - 7$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 {(x + 7)}^{3}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{\frac{3 {(x + 7)}^{3}}{3}} - 7$

Schritt 4.2.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{\frac{{(x + 7)}^{3}}{1}} - 7$

Schritt 4.2.4.3.2

Dividiere ${(x + 7)}^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = \sqrt[3]{{(x + 7)}^{3}} - 7$

Schritt 4.2.4.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = x + 7 - 7$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 7 - 7$ .

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = x + 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {((\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) + 7)}^{3} - 5$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{3} \cdot {((\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) + 7)}^{3} - 5$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt[3]{3 (x + 5)} + 0)}^{3} - 5$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\sqrt[3]{3 (x + 5)}$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {\sqrt[3]{3 (x + 5)}}^{3} - 5$

Schritt 4.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3 (x + 5)}}^{3}$ als $3 (x + 5)$ um.

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Schritt 4.3.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 (x + 5)}$ als ${(3 (x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {({(3 (x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 5$

Schritt 4.3.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {(3 (x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 5$

Schritt 4.3.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {(3 (x + 5))}^{\frac{3}{3}} - 5$

Schritt 4.3.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot {(3 (x + 5))}^{\frac{3}{3}} - 5$

Schritt 4.3.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x + 5)) - 5$

Schritt 4.3.4.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x + 5)) - 5$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x + 5)) - 5$

Schritt 4.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = x + 5 - 5$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 4.3.5.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 7)}^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{3 (x + 5)} - 7$