Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + 2$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + 2$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + 2 = 0$ um.

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = - 2$

Schritt 1.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(x + 3)}^{2}, 1$

Schritt 1.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(x + 3)}^{2}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = - 2$ mit ${(x + 3)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = - 2$ mit ${(x + 3)}^{2}$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} {(x + 3)}^{2} = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{{(x + 3)}^{2}} {(x + 3)}^{2} = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{{(x + 3)}^{2}} {(x + 3)}^{2} = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1.2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 {(x + 3)}^{2} = - 1$ um.

$- 2 {(x + 3)}^{2} = - 1$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(x + 3)}^{2} = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(x + 3)}^{2} = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x + 3)}^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(x + 3)}^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.5.2.2.1.2

Dividiere ${(x + 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

${(x + 3)}^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x + 3 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x + 3 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x + 3 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.5.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x + 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 3 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3$

Schritt 1.2.5.5.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 3 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.5.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2} - 3$

Schritt 1.2.5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3, - \frac{\sqrt{2}}{2} - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{\sqrt{2}}{2} - 3, 0), (- \frac{\sqrt{2}}{2} - 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{{((0) + 3)}^{2}} + 2$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{{(0 + 3)}^{2}} + 2$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{{((0) + 3)}^{2}} + 2$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- \frac{1}{{((0) + 3)}^{2}} + 2$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.1.1

Addiere $0$ und $3$ .

$y = - \frac{1}{3^{2}} + 2$

Schritt 2.2.3.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - \frac{1}{9} + 2$

Schritt 2.2.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 2.2.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{1}{9} + \frac{2 \cdot 9}{9}$

Schritt 2.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + 2 \cdot 9}{9}$

Schritt 2.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{- 1 + 18}{9}$

Schritt 2.2.3.5.2

Addiere $- 1$ und $18$ .

$y = \frac{17}{9}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{17}{9})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{\sqrt{2}}{2} - 3, 0), (- \frac{\sqrt{2}}{2} - 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{17}{9})$

Schritt 4