Algebra Beispiele

${\log_{5}}^{2} (y) - 7 \log_{5} (y) + 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \log_{5} (y)$ . Ersetze $u$ für alle $\log_{5} (y)$ .

$u^{2} - 7 u + 12 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - 7 u + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\log_{5} (y)$ .

$(\log_{5} (y) - 4) (\log_{5} (y) - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\log_{5} (y) - 4 = 0$

$\log_{5} (y) - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $\log_{5} (y) - 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\log_{5} (y) - 4$ gleich $0$ .

$\log_{5} (y) - 4 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\log_{5} (y) - 4 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{5} (y) = 4$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\log_{5} (y) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{4} = y$

Schritt 3.2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $y = 5^{4}$ um.

$y = 5^{4}$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$y = 625$

Schritt 4

Setze $\log_{5} (y) - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\log_{5} (y) - 3$ gleich $0$ .

$\log_{5} (y) - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\log_{5} (y) - 3 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{5} (y) = 3$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\log_{5} (y) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{3} = y$

Schritt 4.2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $y = 5^{3}$ um.

$y = 5^{3}$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$y = 125$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\log_{5} (y) - 4) (\log_{5} (y) - 3) = 0$ wahr machen.

$y = 625, 125$