Algebra Beispiele

$arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{x}$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\arctan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{π}{2} - \arctan (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung als $\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$ um.

$\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$

Schritt 1.3

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.4.2.2

Dividiere $\arctan (x)$ durch $1$ .

$\arctan (x) = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot arccot (\sqrt{x})$ als $- arccot (\sqrt{x})$ um.

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Schritt 1.4.3.1.4

Dividiere $\frac{π}{2}$ durch $1$ .

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}$

Schritt 1.5

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $\sqrt{x}$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$x = \tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2})$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung als $\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$ um.

$\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$

Schritt 1.7

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $arccot (\sqrt{x})$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2} = \arctan (x)$

Schritt 1.8

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$

Schritt 1.9

Teile jeden Ausdruck in $- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.9.1

Teile jeden Ausdruck in $- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- arccot (\sqrt{x})}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{arccot (\sqrt{x})}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.9.2.2

Dividiere $arccot (\sqrt{x})$ durch $1$ .

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$arccot (\sqrt{x}) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.9.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (x)$ als $- \arctan (x)$ um.

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Schritt 1.9.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Schritt 1.9.3.1.4

Dividiere $\frac{π}{2}$ durch $1$ .

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Schritt 1.10

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\sqrt{x}$ from inside the arccotangent.

$\sqrt{x} = \cot (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Ordne Terme um.

$x - \cot^{2} (\frac{π}{2} - \arctan (x)) = 0$

Schritt 4.2.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$x - {(\frac{\cot (\frac{π}{2}) \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$x - {(\frac{0 \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, x)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, x)$ verläuft. Folglich ist $\cot (\arctan (x))$ $\frac{1}{x}$ .

$x - {(\frac{0 (\frac{1}{x}) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{x}$ .

$x - {(\frac{0 + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $0$ und $1$ .

$x - {(\frac{1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - 0})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} + 0})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.4

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x}})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x - {(1 x)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x - x^{2} = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$x (1 - x) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 4.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.6

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.6.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$ nicht erfüllen.

$x = 1$