Algebra Beispiele

$x y^{2} - x + 3 y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} + 3 y^{2} + 1 = x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} + 3 y^{2} = x - 1$

Schritt 2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} + 3 y^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$y^{2} x + 3 y^{2} = x - 1$

Schritt 2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3 = x - 1$

Schritt 2.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x + y^{2} \cdot 3$ heraus.

$y^{2} (x + 3) = x - 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x + 3) = x - 1$ durch $x + 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x + 3) = x - 1$ durch $x + 3$ .

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 3}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ als $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$

Schritt 5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $\sqrt{x + 3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $\sqrt{x + 3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{2}}$

Schritt 5.3.6

Schreibe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ als $x + 3$ um.

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Schritt 5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{1}}$

Schritt 5.3.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{x + 3}$

Schritt 5.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x - 1) (x + 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 8.2

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 8.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 3) \geq 0$ wahr machen.

$x = 1, - 3$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 6) - 1) ((- 6) + 3) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $21$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) - 1) ((0) + 3) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((4) - 1) ((4) + 3) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $21$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 1$

Schritt 9

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 10

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 11

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup [1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 3, x \geq 1}$

Schritt 12

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq 1, - 1}$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 3) \cup [1, \infty), {x | x < - 3, x \geq 1}$

Wertebereich: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq 1, - 1}$

Schritt 14