Algebra Beispiele

$2 \sin (\frac{π}{4} - x) + \sqrt{3} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (\frac{π}{4} - x) = - \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{π}{4} - x) = - \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{π}{4} - x) = - \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} - x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} - x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{π}{4} - x)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (\frac{π}{4} - x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π}{4} - x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{4} - x = - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2

Um $- \frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3

Um $- \frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- x = - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- x = - \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- x = - \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- x = - \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x = \frac{- π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- x = \frac{- 4 π - π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x = \frac{- 4 π - 3 π}{12}$

Schritt 5.6.3

Subtrahiere $3 π$ von $- 4 π$ .

$- x = \frac{- 7 π}{12}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x = - \frac{7 π}{12}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{7 π}{12}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - \frac{7 π}{12}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{7 π}{12}}{- 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{7 π}{12}}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{7 π}{12}}{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\frac{7 π}{12}}{1}$

Schritt 6.3.2

Dividiere $\frac{7 π}{12}$ durch $1$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{π}{4} - x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{π}{4} - x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 8.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{π}{4} - x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 8.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = \frac{4 π}{3} - \frac{π}{4}$

Schritt 8.3.1.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 8.3.1.3

Um $- \frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- x = \frac{4 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- x = \frac{4 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.3.1.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- x = \frac{4 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 8.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x = \frac{4 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

Schritt 8.3.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- x = \frac{16 π - π \cdot 3}{12}$

Schritt 8.3.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x = \frac{16 π - 3 π}{12}$

Schritt 8.3.1.6.3

Subtrahiere $3 π$ von $16 π$ .

$- x = \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = \frac{13 π}{12}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = \frac{13 π}{12}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{13 π}{12}}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{13 π}{12}}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{13 π}{12}}{- 1}$

Schritt 8.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{13 π}{12}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{13 π}{12}$

Schritt 8.3.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{13 π}{12}$ als $- \frac{13 π}{12}$ um.

$x = - \frac{13 π}{12}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{π}{4} - x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $- 1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{13 π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{13 π}{12} + 2 π$

Schritt 10.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{13 π}{12}$

Schritt 10.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{13 π}{12}$

Schritt 10.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 12 - 13 π}{12}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$\frac{24 π - 13 π}{12}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $13 π$ von $24 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Schritt 10.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{12}$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{π}{4} - x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{11 π}{12} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$