Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}} = 5 x^{7}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}})$ als $\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}})$ um.

$\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}$ als ${(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{25 x^{k}}$ als ${(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}) + \ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} \ln (5 x^{k + 1}) + \ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2.5

Zerlege $\ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} \ln (5 x^{k + 1}) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2.6

Schreibe $\ln (5 x^{k + 1})$ als $\ln (5) + \ln (x^{k + 1})$ um.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + \ln (x^{k + 1})) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2.7

Zerlege $\ln (x^{k + 1})$ durch Herausziehen von $k + 1$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2.8

Schreibe $\ln (25 x^{k})$ als $\ln (25) + \ln (x^{k})$ um.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + \ln (x^{k})) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 2.9

Zerlege $\ln (x^{k})$ durch Herausziehen von $k$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x))$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + k \ln (x) + 1 \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.1.2

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + k \ln (x) + \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} (k \ln (x) + \ln (5 x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (k \ln (x)) + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.4

Multipliziere $\frac{1}{3} (k \ln (x))$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Kombiniere $k$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{k}{3} \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.4.2

Kombiniere $\frac{k}{3}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (5 x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{1}{3} \ln (25) + \frac{1}{3} (k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (25)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{1}{3} (k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.8

Multipliziere $\frac{1}{3} (k \ln (x))$ .

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Schritt 3.1.1.8.1

Kombiniere $k$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{k}{3} \ln (x) = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.1.8.2

Kombiniere $\frac{k}{3}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{k \ln (x) + \ln (5 x) + \ln (25) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{k \ln (x) + \ln (5 x \cdot 25) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$\frac{k \ln (x) + \ln (125 x) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.5

Addiere $k \ln (x)$ und $k \ln (x)$ .

$\frac{2 k \ln (x) + \ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Schritt 3.1.6

Zerlege den Bruch $\frac{2 k \ln (x) + \ln (125 x)}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$ mit $3$ .

$\frac{2 k \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 k \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 k \ln (x) + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 k \ln (x) + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Schritt 4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (5 x^{7})$ .

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) = 3 \ln (5 x^{7})$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) - 3 \ln (5 x^{7}) = 0$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $k$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $\ln (125 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 k \ln (x) - 3 \ln (5 x^{7}) = - \ln (125 x)$

Schritt 6.2

Addiere $3 \ln (5 x^{7})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$ durch $2 \ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$ durch $2 \ln (x)$ .

$\frac{2 k \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 k \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{\ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$