Algebra Beispiele

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 25} - \frac{x}{x + 5} + \frac{2}{x - 5}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 5^{2}} - \frac{x}{x + 5} + \frac{2}{x - 5}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x + 5) (x - 5)} - \frac{x}{x + 5} + \frac{2}{x - 5}$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 5}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x + 5) (x - 5)} - (\frac{x}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}) + \frac{2}{x - 5}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 5}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x + 5) (x - 5)} - \frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{2}{x - 5}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{x - 5}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x + 5) (x - 5)} - \frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{2}{x - 5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{x - 5}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x + 5) (x - 5)} - \frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{2 (x + 5)}{(x - 5) (x + 5)}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren von $(x - 5) (x + 5)$ um.

$\frac{3 x^{2}}{(x + 5) (x - 5)} - \frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{2 (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} - x (x - 5) + 2 (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - x \cdot x - x \cdot - 5 + 2 (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{2} - (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 2 (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + 5 x + 2 (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + 5 x + 2 x + 2 \cdot 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + 5 x + 2 x + 10}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 10}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.2

Addiere $5 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 10}{(x + 5) (x - 5)}$