Algebra Beispiele

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{8} x y + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} x y + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{8} \cdot (x y) + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere $- \frac{3}{8} (x y)$ .

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \cdot 3}{8} y + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $y$ und $\frac{x \cdot 3}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y (x \cdot 3)}{8} + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y x$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 \cdot (y x)}{8} + \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot (x y) + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1.5

Multipliziere $- \frac{1}{2} (x y)$ .

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{x}{2} y + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $y$ und $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{1}{4} y^{2} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{3}{8} x^{2}$

Schritt 1.7

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8}$

Schritt 1.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8}$

Schritt 2

Um $\frac{x^{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{2}}{8}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{3 x^{2}}{8}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} - \frac{3 x^{2}}{8}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 y x}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x^{2}}{8}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 y x + x^{2} \cdot 2 - 3 x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{- 3 y x + 2 x^{2} - 3 x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 6

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 y x - x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 y x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 y x$ heraus.

$\frac{x (- 3 y) - x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 3 y) + x (- x)}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 y) + x (- x)$ heraus.

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{- y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 8

Um $\frac{y^{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{x (- 3 y - x)}{8} + \frac{y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (- 3 y - x) + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 3 y) + x (- x) + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 3 x y + x (- x) + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 3 x y - x \cdot x + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 3 x y - (x \cdot x) + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 3 x y - x^{2} + y^{2} \cdot 4}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{- 3 x y - x^{2} + 4 \cdot y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 11.6.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 3 x y}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.1.2

Stelle $4 y^{2}$ und $- 3 x y$ um.

$\frac{- x^{2} - 3 x y + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x y$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 3 (x y) + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.1.4

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$\frac{- x^{2} + (1 - 4) (x y) + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 1 (x y) - 4 (x y) + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.1.6

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} + x y - 4 (x y) + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.1.7

Versetze die Klammern.

$\frac{- x^{2} + x y - 4 x y + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} + x y) - 4 x y + 4 y^{2}}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x + y) + 4 y (- x + y)}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 11.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + y$ .

$\frac{(- x + y) (x + 4 y)}{8} - \frac{y x}{2} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 12

Um $- \frac{y x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(- x + y) (x + 4 y)}{8} - \frac{y x}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{y x}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(- x + y) (x + 4 y)}{8} - \frac{y x \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{(- x + y) (x + 4 y)}{8} - \frac{y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- x + y) (x + 4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Multipliziere $(- x + y) (x + 4 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x (x + 4 y) + y (x + 4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x \cdot x - x (4 y) + y (x + 4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x \cdot x - x (4 y) + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x (4 y) + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- x^{2} - x (4 y) + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot 4 x y + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x y + y x + y (4 y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x^{2} - 4 x y + y x + 4 y \cdot y - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.1.5.1

Bewege $y$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x y + y x + 4 (y \cdot y) - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x y + y x + 4 y^{2} - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2.2

Addiere $- 4 x y$ und $y x$ .

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Schritt 15.2.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{- x^{2} - 4 x y + x y + 4 y^{2} - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.2.2.2

Addiere $- 4 x y$ und $x y$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x y + 4 y^{2} - y x \cdot 4}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x y + 4 y^{2} - 4 y x}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.4

Subtrahiere $4 y x$ von $- 3 x y$ .

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Schritt 15.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 3 x y - 4 x y}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 15.4.2

Subtrahiere $4 x y$ von $- 3 x y$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y}{8} + \frac{y^{2}}{4}$

Schritt 16

Um $\frac{y^{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y}{8} + \frac{y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 17

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y}{8} + \frac{y^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y}{8} + \frac{y^{2} \cdot 2}{8}$

Schritt 18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y + y^{2} \cdot 2}{8}$

Schritt 19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 y^{2} - 7 x y + 2 \cdot y^{2}}{8}$

Schritt 19.2

Addiere $4 y^{2}$ und $2 y^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 6 y^{2} - 7 x y}{8}$

Schritt 20

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 20.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 6 y^{2} - 7 x y}{8}$

Schritt 20.2

Faktorisiere $- 1$ aus $6 y^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 6 y^{2}) - 7 x y}{8}$

Schritt 20.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 6 y^{2})$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 6 y^{2}) - 7 x y}{8}$

Schritt 20.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x y$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 6 y^{2}) - (7 x y)}{8}$

Schritt 20.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 6 y^{2}) - (7 x y)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y)}{8}$

Schritt 20.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 20.6.1

Schreibe $- (x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y)$ als $- 1 (x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y)}{8}$

Schritt 20.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 6 y^{2} + 7 x y}{8}$