Algebra Beispiele

$R = \frac{\sqrt[6]{25} \cdot \sqrt[4]{25} \cdot \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $12$ .

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{25}$ als $25^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$R = \frac{25^{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt[4]{25} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $25^{\frac{1}{6}}$ als $25^{\frac{2}{12}}$ um.

$R = \frac{25^{\frac{2}{12}} \cdot \sqrt[4]{25} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.1.3

Schreibe $25^{\frac{2}{12}}$ als $\sqrt[12]{25^{2}}$ um.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2}} \cdot \sqrt[4]{25} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{25}$ als $25^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2}} \cdot 25^{\frac{1}{4}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.1.5

Schreibe $25^{\frac{1}{4}}$ als $25^{\frac{3}{12}}$ um.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2}} \cdot 25^{\frac{3}{12}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.1.6

Schreibe $25^{\frac{3}{12}}$ als $\sqrt[12]{25^{3}}$ um.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2}} \cdot \sqrt[12]{25^{3}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2} \cdot 25^{3}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.3

Multipliziere $25^{2}$ mit $25^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{2 + 3}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.3.2

Addiere $2$ und $3$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5}} \sqrt[3]{25}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.4

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $12$ .

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Schritt 1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{25}$ als $25^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5}} \cdot 25^{\frac{1}{3}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe $25^{\frac{1}{3}}$ als $25^{\frac{4}{12}}$ um.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5}} \cdot 25^{\frac{4}{12}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.4.3

Schreibe $25^{\frac{4}{12}}$ als $\sqrt[12]{25^{4}}$ um.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5}} \sqrt[12]{25^{4}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5} \cdot 25^{4}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.6

Multipliziere $25^{5}$ mit $25^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{5 + 4}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 1.6.2

Addiere $5$ und $4$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[5]{25} \cdot \sqrt[20]{25}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $20$ .

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{25}$ als $25^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot (\sqrt[20]{25} \cdot 25^{\frac{1}{5}})}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $25^{\frac{1}{5}}$ als $25^{\frac{4}{20}}$ um.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot (\sqrt[20]{25} \cdot 25^{\frac{4}{20}})}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $25^{\frac{4}{20}}$ als $\sqrt[20]{25^{4}}$ um.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot (\sqrt[20]{25} \sqrt[20]{25^{4}})}$

Schritt 2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25 \cdot 25^{4}}}$

Schritt 2.3

Multipliziere $25$ mit $25^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $25$ mit $25^{4}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $25$ mit $1$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{1} \cdot 25^{4}}}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{1 + 4}}}$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{25^{9}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Potenziere $25$ mit $9$ .

$R = \frac{\sqrt[12]{3814697265625}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.2

Schreibe $3814697265625$ als $5^{12} \cdot 15625$ um.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $244140625$ aus $3814697265625$ heraus.

$R = \frac{\sqrt[12]{244140625 (15625)}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $244140625$ als $5^{12}$ um.

$R = \frac{\sqrt[12]{5^{12} \cdot 15625}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$R = \frac{5 \sqrt[12]{15625}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.4

Schreibe $15625$ als $25^{3}$ um.

$R = \frac{5 \sqrt[12]{25^{3}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\sqrt[12]{25^{3}}$ als $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25^{3}}}$ um.

$R = \frac{5 \sqrt[4]{\sqrt[3]{25^{3}}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$R = \frac{5 \sqrt[4]{25}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.7

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$R = \frac{5 \sqrt[4]{5^{2}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.8

Schreibe $\sqrt[4]{5^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ um.

$R = \frac{5 \sqrt{\sqrt{5^{2}}}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 3.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Potenziere $25$ mit $5$ .

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[20]{9765625}}$

Schritt 4.2

Schreibe $9765625$ als $25^{5}$ um.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[20]{25^{5}}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sqrt[20]{25^{5}}$ als $\sqrt[4]{\sqrt[5]{25^{5}}}$ um.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[4]{\sqrt[5]{25^{5}}}}$

Schritt 4.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[4]{25}}$

Schritt 4.5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt[4]{5^{2}}}$

Schritt 4.6

Schreibe $\sqrt[4]{5^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ um.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt{\sqrt{5^{2}}}}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$R = \frac{5 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5}}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$R = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{5}$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$R = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$R = 1$