Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{x^{2} + 9 x + 8}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 13 x + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $13$ ist.

$5, 8$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{x^{2} + 9 x + 8}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $9$ ist.

$1, 8$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $2$ ist.

$- 5, 7$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (5)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2} + 6 x + 5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $6$ ist.

$1, 5$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x ((x + 1) (x + 5))}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 12 x^{2} + 35 x$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + x (12 x) + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $35 x$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 35} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (12 x)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x^{2} + 12 x) + x \cdot 35} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 12 x) + x \cdot 35$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x^{2} + 12 x + 35)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x^{2} + 12 x + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $35$ und deren Summe $12$ ist.

$5, 7$

Schritt 5.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x ((x + 5) (x + 7))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x + 7$ aus $(x - 5) (x + 7)$ heraus.

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x + 7$ aus $x (x + 5) (x + 7)$ heraus.

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{(x + 7) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{(x + 7) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 5}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{x - 5}{- x - 5}$ mit $\frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5)}$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- x - 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- (x) - 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- (x) - 1 (5)) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- (x + 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 6.6

Schreibe $- (x + 5)$ als $- 1 (x + 5)$ um.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 (x + 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 7

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 8

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x {(x + 5)}^{1 + 1}} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x {(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Schritt 11

Kombinieren.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- 1 x {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- 1 x {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Schritt 12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x - 5) ((4 (x + 1)) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (4 (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Schritt 13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x - 5) ((4) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 5$ und ${(x + 5)}^{2}$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $((x - 5) ((4) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))$ heraus.

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{- {(x + 5)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $- {(x + 5)}^{2} (x + 8)$ heraus.

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{(x + 5) (- (x + 5) (x + 8))}$

Schritt 14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{(x + 5) (- (x + 5) (x + 8))}$

Schritt 14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8))}{- (x + 5) (x + 8)}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) \cdot (4) ((x + 5) (x + 8))}{- (x + 5) (x + 8)}$

Schritt 15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x - 5) \cdot (4)) (x + 8)}{- (x + 8)}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 8$ .

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Schritt 16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) \cdot (4) (x + 8)}{- (x + 8)}$

Schritt 16.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 5) \cdot (4)}{- 1}$

Schritt 16.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{(x - 5) \cdot (4)}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((x - 5) \cdot (4))$

Schritt 17

Schreibe $- 1 \cdot ((x - 5) \cdot (4))$ als $- ((x - 5) \cdot (4))$ um.

$- ((x - 5) \cdot (4))$

Schritt 18

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot 4 - 5 \cdot 4)$

Schritt 19

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 19.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- (4 \cdot x - 5 \cdot 4)$

Schritt 19.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- (4 \cdot x - 20)$

Schritt 20

Wende das Distributivgesetz an.

$- (4 x) - - 20$

Schritt 21

Multipliziere.

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Schritt 21.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 x - - 20$

Schritt 21.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$- 4 x + 20$