Algebra Beispiele

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Schreibe $\sin^{4} (x)$ als ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Schritt 2.2

Schreibe $\cos^{4} (x)$ als ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin^{2} (x)$ und $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (x)$ und $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung