Algebra Beispiele

$\frac{1}{x} + 3 > 4$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{x} > 4 - 3$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{1}{x} > 1$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1 x$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 = x$

Schritt 4

Schreibe die Gleichung als $x = 1$ um.

$x = 1$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{x} - 1$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{- 2} + 3 > 4$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $2.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{0.5} + 3 > 4$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{4} + 3 > 4$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $3.25$ ist nicht größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 1$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < 1$

Intervallschreibweise:

$(0, 1)$

Schritt 10