Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ um.

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 0 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3.2.2

Addiere $x^{2} + x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x - 1}$