Algebra Beispiele

$12 n^{2} + 48 n = - n^{3} - 64$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $n^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} = - 64$

Schritt 1.2

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} + 64 = 0$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64 = 0$

Schritt 3

Schreibe $n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1

Gruppiere die Terme um.

$n^{3} + 64 + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$n^{3} + 4^{3} + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = n$ und $b = 4$ .

$(n + 4) (n^{2} - n \cdot 4 + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Schritt 3.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $12 n$ aus $12 n^{2} + 48 n$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $12 n$ aus $12 n^{2}$ heraus.

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 48 n = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $12 n$ aus $48 n$ heraus.

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 12 n (4) = 0$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $12 n$ aus $12 n (n) + 12 n (4)$ heraus.

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4) = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere $n + 4$ aus $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4)$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $n + 4$ aus $12 n (n + 4)$ heraus.

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n) = 0$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $n + 4$ aus $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n)$ heraus.

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16 + 12 n) = 0$

Schritt 3.7

Addiere $- 4 n$ und $12 n$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 16) = 0$

Schritt 3.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 4^{2}) = 0$

Schritt 3.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 n = 2 \cdot n \cdot 4$

Schritt 3.8.3

Schreibe das Polynom neu.

$(n + 4) (n^{2} + 2 \cdot n \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 3.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 4$ .

$(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$n + 4 = 0$

${(n + 4)}^{2} = 0$

Schritt 5

Setze $n + 4$ gleich $0$ und löse nach $n$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $n + 4$ gleich $0$ .

$n + 4 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n = - 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$n = - 4$