Algebra Beispiele

$4^{x} + 6 (4^{- x}) = 5$

Schritt 1

Schreibe $4^{- x}$ als Potenz um.

$4^{x} + 6 \cdot {(4^{x})}^{- 1} = 5$

Schritt 2

Ersetze $4^{x}$ durch $u$ .

$u + 6 \cdot u^{- 1} = 5$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 6 \cdot \frac{1}{u} = 5$

Schritt 3.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{6}{u} = 5$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{6}{u} = 5$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{6}{u} = 5$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{6}{u} u = 5 u$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{6}{u} u = 5 u$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{6}{u} u = 5 u$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 6 = 5 u$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $5 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 6 - 5 u = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $u^{2} + 6 - 5 u$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Schritt 4.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 4.3.5

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.5.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 4.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 3) (u - 2) = 0$ wahr machen.

$u = 3, 2$

Schritt 5

Setze $3$ für $u$ in $u = 4^{x}$ ein.

$3 = 4^{x}$

Schritt 6

Löse $3 = 4^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $4^{x} = 3$ um.

$4^{x} = 3$

Schritt 6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x}) = \ln (3)$

Schritt 6.3

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) = \ln (3)$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = \ln (3)$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = \ln (3)$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}$

Schritt 7

Setze $2$ für $u$ in $u = 4^{x}$ ein.

$2 = 4^{x}$

Schritt 8

Löse $2 = 4^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $4^{x} = 2$ um.

$4^{x} = 2$

Schritt 8.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{2 x} = 2^{1}$

Schritt 8.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x = 1$

Schritt 8.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}, \frac{1}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}, \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.79248125 \dots, 0.5$