Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2} + 2} = x - 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2} + 2}}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2} + 2}$ als ${(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{1} = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{3}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x^{3} = - 3 x^{2} + 2$

Schritt 3.2.2

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} = 2$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$- 3 x^{2} + 3 x - 1 + 0 + 3 x^{2} = 2$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $- 3 x^{2} + 3 x - 1$ und $0$ .

$- 3 x^{2} + 3 x - 1 + 3 x^{2} = 2$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $- 3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$3 x - 1 + 0 = 2$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $3 x - 1$ und $0$ .

$3 x - 1 = 2$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2 + 1$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3 x = 3$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 3$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x = 1$