Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{9 x^{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{9 y^{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{9 y^{2}} = x$ um.

$\sqrt{9 y^{2}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{9 y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 y^{2}}$ als ${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 y^{2})}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$9 y^{2} = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = x^{2}$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = x^{2}$ durch $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 3.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 3.4.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 3.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$ .

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Schritt 3.4.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ als ${(\frac{x}{3})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm \frac{x}{3}$

Schritt 3.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{x}{3}$

Schritt 3.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{x}{3}$

Schritt 3.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{3}$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.4

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ der Wertebereich von $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ die inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Schritt 6