Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{7 - 5 x}{5 x + 2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{7 - 5 x}{5 x + 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{7 - 5 x}{5 x + 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{7 - 5 y}{5 y + 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7 - 5 y}{5 y + 2} = x$ um.

$\frac{7 - 5 y}{5 y + 2} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$5 y + 2, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$5 y + 2, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$5 y + 2$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 - 5 y}{5 y + 2} = x$ mit $5 y + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 - 5 y}{5 y + 2} = x$ mit $5 y + 2$ .

$\frac{7 - 5 y}{5 y + 2} (5 y + 2) = x (5 y + 2)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 y + 2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 - 5 y}{5 y + 2} (5 y + 2) = x (5 y + 2)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 - 5 y = x (5 y + 2)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 - 5 y = x (5 y) + x \cdot 2$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 - 5 y = 5 x y + x \cdot 2$

Schritt 3.3.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$7 - 5 y = 5 x y + 2 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $5 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 - 5 y - 5 x y = 2 x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y - 5 x y = 2 x - 7$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $5 y$ aus $- 5 y - 5 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $5 y$ aus $- 5 y$ heraus.

$5 y (- 1) - 5 x y = 2 x - 7$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $5 y$ aus $- 5 x y$ heraus.

$5 y (- 1) + 5 y (- x) = 2 x - 7$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y (- 1) + 5 y (- x)$ heraus.

$5 y (- 1 - x) = 2 x - 7$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $5 y (- 1 - x) = 2 x - 7$ durch $5 (- 1 - x)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y (- 1 - x) = 2 x - 7$ durch $5 (- 1 - x)$ .

$\frac{5 y (- 1 - x)}{5 (- 1 - x)} = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} + \frac{- 7}{5 (- 1 - x)}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y (- 1 - x)}{5 (- 1 - x)} = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} + \frac{- 7}{5 (- 1 - x)}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} + \frac{- 7}{5 (- 1 - x)}$

Schritt 3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} + \frac{- 7}{5 (- 1 - x)}$

Schritt 3.4.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} + \frac{- 7}{5 (- 1 - x)}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{7 - 5 x}{5 x + 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{2 (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2})}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))} - \frac{7}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{2 (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) - 7}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{2 (7 - 5 x)}{5 x + 2} - 7}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.5

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x + 2}{5 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{2 (7 - 5 x)}{5 x + 2} - 7 \cdot \frac{5 x + 2}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.6.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{5 x + 2}{5 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{2 (7 - 5 x)}{5 x + 2} + \frac{- 7 (5 x + 2)}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{2 (7 - 5 x) - 7 (5 x + 2)}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 5 x) - 7 (5 x + 2)}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{14 + 2 (- 5 x) - 7 (5 x + 2)}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{14 - 10 x - 7 (5 x + 2)}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{14 - 10 x - 7 (5 x) - 7 \cdot 2}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{14 - 10 x - 35 x - 7 \cdot 2}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{14 - 10 x - 35 x - 14}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7.7

Subtrahiere $14$ von $14$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{- 10 x - 35 x + 0}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7.8

Addiere $- 10 x - 35 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{- 10 x - 35 x}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.7.9

Subtrahiere $35 x$ von $- 10 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{- 45 x}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- \frac{45 x}{5 x + 2}}{5 (- 1 - (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}))}$

Schritt 5.2.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = - \frac{45 x}{5 x + 2} \cdot \frac{1}{5 (- 1 - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.10.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{45 x}{5 x + 2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 45 x}{5 x + 2} \cdot \frac{1}{5 (- 1 - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.10.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 45 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{5 (- 9 x)}{5 x + 2} \cdot \frac{1}{5 (- 1 - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{5 (- 9 x)}{5 x + 2} \cdot \frac{1}{5 (- 1 - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.10.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{5 x + 2} \cdot \frac{1}{- 1 - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2}}$

Schritt 5.2.10.2

Mutltipliziere $\frac{- 9 x}{5 x + 2}$ mit $\frac{1}{- 1 - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (- 1 - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.11.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x + 2}{5 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (- 1 \cdot \frac{5 x + 2}{5 x + 2} - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5 x + 2}{5 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (\frac{- (5 x + 2)}{5 x + 2} - \frac{7 - 5 x}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (\frac{- (5 x + 2) - (7 - 5 x)}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.4

Schreibe $\frac{- (5 x + 2) - (7 - 5 x)}{5 x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.11.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x + 2) - (7 - 5 x)$ heraus.

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Schritt 5.2.11.4.1.1

Stelle $7$ und $- 5 x$ um.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (\frac{- (5 x + 2) - (- 5 x + 7)}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x + 2) - (- 5 x + 7)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (\frac{- (5 x + 2 - 5 x + 7)}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.4.2

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (\frac{- (0 + 2 + 7)}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.4.3

Addiere $0$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (\frac{- (2 + 7)}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.4.4

Addiere $2$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (\frac{- 1 \cdot 9}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) (\frac{- 9}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{(5 x + 2) \cdot (- 1 \frac{9}{5 x + 2})}$

Schritt 5.2.11.7

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- 9 x}{- (5 x + 2) \frac{9}{5 x + 2}}$

Schritt 5.2.12

Faktorisiere $\frac{9}{5 x + 2}$ aus $\frac{- 9 x}{- (5 x + 2) \frac{9}{5 x + 2}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{5 x + 2}{9} \cdot \frac{- 9 x}{- (5 x + 2)}$

Schritt 5.2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x + 2$ .

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Schritt 5.2.13.1

Faktorisiere $5 x + 2$ aus $- (5 x + 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{5 x + 2}{9} \cdot \frac{- 9 x}{(5 x + 2) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{5 x + 2}{9} \cdot \frac{- 9 x}{(5 x + 2) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{- 9 x}{- 1}$

Schritt 5.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.14.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{9 (- x)}{- 1}$

Schritt 5.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{9 (- x)}{- 1}$

Schritt 5.2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{- x}{- 1}$

Schritt 5.2.15

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = \frac{x}{1}$

Schritt 5.2.16

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 5 x}{5 x + 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - 5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - 5 \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - 5 (- \frac{7}{5 (- 1 - x)})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 + 5 (- 1) (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)}) - 5 (- \frac{7}{5 (- 1 - x)})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 + 5 \cdot (- 1 \frac{2 x}{5 (- 1 - x)}) - 5 (- \frac{7}{5 (- 1 - x)})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - 1 \frac{2 x}{- 1 - x} - 5 (- \frac{7}{5 (- 1 - x)})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{5 (- 1 - x)}$ in den Zähler.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - 1 \frac{2 x}{- 1 - x} - 5 \frac{- 7}{5 (- 1 - x)}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - 1 \frac{2 x}{- 1 - x} + 5 (- 1) (\frac{- 7}{5 (- 1 - x)})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - 1 \frac{2 x}{- 1 - x} + 5 \cdot (- 1 \frac{- 7}{5 (- 1 - x)})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - 1 \frac{2 x}{- 1 - x} - 1 \frac{- 7}{- 1 - x}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $- 1 \frac{2 x}{- 1 - x}$ als $- \frac{2 x}{- 1 - x}$ um.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - \frac{2 x}{- 1 - x} - 1 \frac{- 7}{- 1 - x}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - \frac{2 x}{- 1 - x} - 1 (- \frac{7}{- 1 - x})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.4.3

Multipliziere $- 1 (- \frac{7}{- 1 - x})$ .

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Schritt 5.3.3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - \frac{2 x}{- 1 - x} + 1 (\frac{7}{- 1 - x})}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{7}{- 1 - x}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 - \frac{2 x}{- 1 - x} + \frac{7}{- 1 - x}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{7 + \frac{- 2 x + 7}{- 1 - x}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.6

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1 - x}{- 1 - x}$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{7 (- 1 - x)}{- 1 - x} + \frac{- 2 x + 7}{- 1 - x}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{7 (- 1 - x) - 2 x + 7}{- 1 - x}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.8

Stelle die Terme um.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{- 2 x + 7 (- 1 - x) + 7}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.9

Schreibe $\frac{- 2 x + 7 (- 1 - x) + 7}{- x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{- 2 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.9.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{- 2 x - 7 + 7 (- x) + 7}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{- 2 x - 7 - 7 x + 7}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.9.4

Subtrahiere $7 x$ von $- 2 x$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{- 9 x - 7 + 7}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.9.5

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{- 9 x + 0}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.9.6

Addiere $- 9 x$ und $0$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{- 9 x}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)}) + 5 (- \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{5 (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)}) + 5 (- \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x}{- 1 - x} + 5 (- \frac{7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{5 (- 1 - x)}$ in den Zähler.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x}{- 1 - x} + 5 (\frac{- 7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x}{- 1 - x} + 5 (\frac{- 7}{5 (- 1 - x)}) + 2}$

Schritt 5.3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x}{- 1 - x} + \frac{- 7}{- 1 - x} + 2}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x - 7}{- 1 - x} + 2}$

Schritt 5.3.4.5

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1 - x}{- 1 - x}$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x - 7}{- 1 - x} + \frac{2 (- 1 - x)}{- 1 - x}}$

Schritt 5.3.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x - 7 + 2 (- 1 - x)}{- 1 - x}}$

Schritt 5.3.4.7

Stelle die Terme um.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x + 2 (- 1 - x) - 7}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.4.8

Schreibe $\frac{2 x + 2 (- 1 - x) - 7}{- x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) - 7}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x - 2 + 2 (- x) - 7}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.4.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{2 x - 2 - 2 x - 7}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.4.8.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{0 - 2 - 7}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.4.8.5

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{- 2 - 7}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.4.8.6

Subtrahiere $7$ von $- 2$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{- 9}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{- \frac{9 x}{- x - 1}}{- \frac{9}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{\frac{9 x}{- x - 1}}{\frac{9}{- x - 1}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{9 x}{- x - 1} \cdot \frac{- x - 1}{9}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{9 (x)}{- x - 1} \cdot \frac{- x - 1}{9}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{9 x}{- x - 1} \cdot \frac{- x - 1}{9}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{x}{- x - 1} \cdot (- x - 1)$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $\frac{x}{- x - 1}$ mit $- x - 1$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{x (- x - 1)}{- x - 1}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 1$ .

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Schritt 5.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = \frac{x (- x - 1)}{- x - 1}$

Schritt 5.3.9.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{7 - 5 x}{5 x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 (- 1 - x)} - \frac{7}{5 (- 1 - x)}$