Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} \div \frac{x^{2} - 25}{5 x + 10}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 3

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 10$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x) + 10}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 5 \cdot 2}{x^{2} - 25}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5 \cdot 2$ heraus.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x^{2} - 25}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x^{2} - 5^{2}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x - 5}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{x - 5}$ mit $\frac{5 (x + 2)}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{(x - 5) (x - 5)}$

Schritt 7

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}$

Schritt 8

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1 + 1}}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 11

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x + 5$ .

$\frac{5 (x + 5) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 5) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 13

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{(5 x + 25) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 14

Multipliziere $(5 x + 25) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (x + 2) + 25 (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 25 (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 15.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 25 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 15.2

Addiere $10 x$ und $25 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 35 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 16

Zerlege den Bruch $\frac{5 x^{2} + 35 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{5 x^{2} + 35 x}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{50}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 17

Zerlege den Bruch $\frac{5 x^{2} + 35 x}{{(x - 5)}^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{5 x^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{35 x}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{50}{{(x - 5)}^{2}}$