Algebra Beispiele

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

Schritt 1

Schreibe $3^{x + 2}$ als $3^{x} \cdot 3^{2}$ um.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

Schritt 2

Schreibe $3^{1 - x}$ als $3^{1} \cdot 3^{- x}$ um.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

Schritt 3

Schreibe $3^{- x}$ als Potenz um.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

Schritt 4

Ersetze $3^{x}$ durch $u$ .

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Schritt 5.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $u$ .

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Schritt 5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

Schritt 5.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{u}$ .

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 6.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 6.2

Multipliziere jeden Term in $9 u + \frac{3}{u} = 28$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Multipliziere jeden Term in $9 u + \frac{3}{u} = 28$ mit $u$ .

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1.1

Bewege $u$ .

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Subtrahiere $28 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Stelle die Terme um.

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Schritt 6.3.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ und deren Summe gleich $b = - 28$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $- 28$ aus $- 28 u$ heraus.

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Schritt 6.3.2.2.2

Schreibe $- 28$ um als $- 1$ plus $- 27$

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Schritt 6.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Schritt 6.3.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

Schritt 6.3.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Schritt 6.3.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

Schritt 6.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Schritt 6.3.4

Setze $9 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.1

Setze $9 u - 1$ gleich $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Schritt 6.3.4.2

Löse $9 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 u = 1$

Schritt 6.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 u = 1$ durch $9$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 u = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 6.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 6.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Schritt 6.3.5

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 6.3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 6.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{9}, 3$

Schritt 7

Setze $\frac{1}{9}$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

Schritt 8

Löse $\frac{1}{9} = 3^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = \frac{1}{9}$ um.

$3^{x} = \frac{1}{9}$

Schritt 8.2

Potenziere $9$ mit $1$ .

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

Schritt 8.3

Bringe $9^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{x} = 9^{- 1}$

Schritt 8.4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{- 2}$

Schritt 8.5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = - 2$

Schritt 9

Setze $3$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$3 = 3^{x}$

Schritt 10

Löse $3 = 3^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 3$ um.

$3^{x} = 3$

Schritt 10.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{1}$

Schritt 10.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 1$

Schritt 11

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = - 2, 1$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $243.\overline{1}$ ist größer als die rechte Seite $28$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $12$ ist nicht größer als die rechte Seite $28$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $729.\overline{037}$ ist größer als die rechte Seite $28$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > 1$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 2 or x > 1$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

Schritt 16