Algebra Beispiele

$\frac{8 - 8 i \sqrt{5}}{6 + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 8 i \sqrt{5}$ und $6 + 2 i \sqrt{5}$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4 - 8 i \sqrt{5}}{6 + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 i \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4 + 2 (- 4 i \sqrt{5})}{6 + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4) + 2 (- 4 i \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{6 + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{2 (3) + 2 i \sqrt{5}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 i \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{2 (3) + 2 (i \sqrt{5})}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (i \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{2 (3 + i \sqrt{5})}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{2 (3 + i \sqrt{5})}$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 - 4 i \sqrt{5}}{3 + i \sqrt{5}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{4 - 4 i \sqrt{5}}{3 + i \sqrt{5}}$ mit $\frac{3 - i \sqrt{5}}{3 - i \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 - 4 i \sqrt{5}}{3 + i \sqrt{5}} \cdot \frac{3 - i \sqrt{5}}{3 - i \sqrt{5}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{4 - 4 i \sqrt{5}}{3 + i \sqrt{5}}$ mit $\frac{3 - i \sqrt{5}}{3 - i \sqrt{5}}$ .

$\frac{(4 - 4 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}{(3 + i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(4 - 4 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}{9 - 3 (i \sqrt{5}) + i \sqrt{5} \cdot 3 - i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$\frac{(4 - 4 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}{14}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 4 i \sqrt{5}$ und $14$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $(4 - 4 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{2 ((2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5}))}{14}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 ((2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5}))}{2 (7)}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5}))}{2 \cdot 7}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 4

Multipliziere $(2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 - i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} (3 - i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} (3 - i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} \cdot 3 - 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 + 2 (- i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} \cdot 3 - 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6 - 2 (i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} \cdot 3 - 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 5.1.4

Multipliziere $- 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})$ .

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i \sqrt{5} (i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 5.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 (i^{1} i) \sqrt{5} \sqrt{5}}{7}$

Schritt 5.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{5} \sqrt{5}}{7}$

Schritt 5.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{1 + 1} \sqrt{5} \sqrt{5}}{7}$

Schritt 5.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} \sqrt{5} \sqrt{5}}{7}$

Schritt 5.1.4.6

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{7}$

Schritt 5.1.4.7

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{7}$

Schritt 5.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{7}$

Schritt 5.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{7}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 \cdot - 1 {\sqrt{5}}^{2}}{7}$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 {\sqrt{5}}^{2}}{7}$

Schritt 5.1.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7}$

Schritt 5.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7}$

Schritt 5.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{7}$

Schritt 5.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{7}$

Schritt 5.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5^{1}}{7}$

Schritt 5.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5}{7}$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 10}{7}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $10$ von $6$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 4}{7}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $6 i \sqrt{5}$ von $- 2 i \sqrt{5}$ .

$\frac{- 8 i \sqrt{5} - 4}{7}$

Schritt 6

Stelle $- 8 i \sqrt{5}$ und $- 4$ um.

$\frac{- 4 - 8 i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 7

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{- 1 (4) - 8 i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 i \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{- 1 (4) - (8 i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (8 i \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{- 1 (4 + 8 i \sqrt{5})}{7}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 + 8 i \sqrt{5}}{7}$