Algebra Beispiele

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 2}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{x + 3}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 3)$ um.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.4

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.5

Schreibe $x^{2} - 9$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.1.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x}$

Schritt 4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - x}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - (x)}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$ zum Zähler.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 + x}$

Schritt 4.3.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{x - 2}$

Schritt 4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 - 1 \cdot 1}{x - 2}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 - 1}{x - 2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$\frac{x - 4}{x - 2}$