Algebra Beispiele

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{8}{x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $| x - 2 | - \frac{8}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um $| x - 2 |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ um.

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

Schritt 4

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x | x - 2 | = 8$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $x | x - 2 | = 8$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $x | x - 2 | = 8$ durch $x$ .

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $| x - 2 |$ durch $1$ .

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

Schritt 6

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

Schritt 7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{8}{x} + 2$

Schritt 7.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 7.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 7.4

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{8}{x} + 2$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.4.1

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{8}{x} + 2$ mit $x$ .

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Schritt 7.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 8 + 2 x$

Schritt 7.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x = 8$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.5.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 7.5.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Schritt 7.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 7.5.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.5.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7.5.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.5.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2$

Schritt 7.6

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

Schritt 7.7

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

Schritt 7.8

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.8.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 7.8.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 7.9

Multipliziere jeden Term in $x = - \frac{8}{x} + 2$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.9.1

Multipliziere jeden Term in $x = - \frac{8}{x} + 2$ mit $x$ .

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Schritt 7.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.9.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Schritt 7.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.9.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{x}$ in den Zähler.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Schritt 7.9.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Schritt 7.9.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

Schritt 7.10

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.10.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x = - 8$

Schritt 7.10.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Schritt 7.10.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.10.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5

Vereinfache.

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Schritt 7.10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.10.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Schritt 7.10.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.3

Subtrahiere $32$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.4

Schreibe $- 28$ als $- 1 (28)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (28)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.7

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 7.10.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

Schritt 7.10.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

Schritt 7.10.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Schritt 7.11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 4, - 2$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 10.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $6$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $4$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 4$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < 4$

Intervallschreibweise:

$(0, 4)$

Schritt 15