Algebra Beispiele

$x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15 = (x + 5)$

Schritt 1

Subtrahiere $(x + 5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15 - (x + 5) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15 - (x + 5)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15 - x - 1 \cdot 5 = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15 - x - 5 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x$ von $7 x$ .

$x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 15 - 5 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $5$ von $- 15$ .

$x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 20 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 3.3

Setze $- 5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.3.1

Setze $- 5$ in das Polynom ein.

${(- 5)}^{3} + 7 {(- 5)}^{2} + 6 \cdot - 5 - 20$

Schritt 3.3.2

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$- 125 + 7 {(- 5)}^{2} + 6 \cdot - 5 - 20$

Schritt 3.3.3

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- 125 + 7 \cdot 25 + 6 \cdot - 5 - 20$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $7$ mit $25$ .

$- 125 + 175 + 6 \cdot - 5 - 20$

Schritt 3.3.5

Addiere $- 125$ und $175$ .

$50 + 6 \cdot - 5 - 20$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$50 - 30 - 20$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $30$ von $50$ .

$20 - 20$

Schritt 3.3.8

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$0$

Schritt 3.4

Da $- 5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 20}{x + 5}$

Schritt 3.5

Dividiere $x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 20$ durch $x + 5$ .

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Schritt 3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$20$

Schritt 3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$

Schritt 3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} + 10 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Schritt 3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$

Schritt 3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	-	$20$

Schritt 3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$4$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	-	$20$

Schritt 3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$4$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	-	$20$
							-	$4 x$	-	$20$

Schritt 3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x - 20$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$4$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	-	$20$
							+	$4 x$	+	$20$

Schritt 3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$4$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$6 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	-	$20$
							+	$4 x$	+	$20$
										$0$

Schritt 3.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x - 4$

Schritt 3.6

Schreibe $x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 20$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 5) (x^{2} + 2 x - 4) = 0$