Algebra Beispiele

$y = | \cos (π x) |$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = | \cos (π x) |$ gleich $(\frac{1}{2} + 1 n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $\cos (π x)$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $\cos (π x) = 0$ .

$\cos (π x) = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $\cos (π x) = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$π x = \arccos (0)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$π x = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$π x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$π x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.5.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (π x)$ .

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Schritt 1.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.6.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 1.2.6.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 1.2.6.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 1.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (π x)$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{1}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{1}{2} + 1 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2} + 1 n$ .

$y = | \cos (π (\frac{1}{2} + 1 n)) |$

Schritt 1.4

Vereinfache $| \cos (π (\frac{1}{2} + 1 n)) |$ .

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$y = | \cos (π (\frac{1}{2} + n)) |$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = | \cos (π (\frac{1}{2}) + π n) |$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) |$

Schritt 1.5

Die Absolutwert-Spitze ist $(\frac{1}{2} + 1 n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$ .

$(\frac{1}{2} + 1 n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(\frac{1}{2} + 1 n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) |),$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{1}{2} + 1 n & | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \end{array}$

Schritt 4