Algebra Beispiele

$y = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{1}{4} y + 6)}^{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{1}{4} y + 6)}^{3} = x$ um.

${(\frac{1}{4} y + 6)}^{3} = x$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\frac{1}{4} y + 6 = \sqrt[3]{x}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y$ .

$\frac{y}{4} + 6 = \sqrt[3]{x}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{4} = \sqrt[3]{x} - 6$

Schritt 2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Schritt 2.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Schritt 2.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Vereinfache $4 (\sqrt[3]{x} - 6)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot - 6$

Schritt 2.6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$y = 4 \sqrt[3]{x} - 24$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}} - 24$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}} - 24$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{1}{4} x + 6) - 24$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4} + 6) - 24$

Schritt 4.2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 6 - 24$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 6 - 24$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 4 \cdot 6 - 24$

Schritt 4.2.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 24 - 24$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 24 - 24$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (4 \sqrt[3]{x} - 24)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x} - 24) + 6)}^{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 (\sqrt[3]{x})) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 24$ heraus.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 6)) + 6)}^{3}$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 6) + 6)}^{3}$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} - 6 + 6)}^{3}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{x} - 6 + 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Schritt 4.3.4.1.2

Addiere $\sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 4.3.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 4.3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x$

Schritt 4.3.4.2.5

Vereinfache.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$