Algebra Beispiele

$\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arccsc ({(2)}^{- 1})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ verläuft. Folglich ist $\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$ $\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$ .

$\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{- 1 \cdot 2} - 1} \cdot 2$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{2^{- 2} - 1} \cdot 2$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - 1} \cdot 2$

Schritt 4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1} \cdot 2$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{1 - 4}{4}} \cdot 2$

Schritt 8.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\sqrt{\frac{- 3}{4}} \cdot 2$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{- \frac{3}{4}} \cdot 2$

Schritt 10

Schreibe $- \frac{3}{4}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 10.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\sqrt{i^{2} \frac{3}{4}} \cdot 2$

Schritt 10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}} \cdot 2$

Schritt 10.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}} \cdot 2$

Schritt 10.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)} \cdot 2$

Schritt 10.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$\sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3} \cdot 2$

Schritt 11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{i}{2} \sqrt{3} \cdot 2$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{i}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Schritt 13.2

Forme den Ausdruck um.

$i \sqrt{3}$