Algebra Beispiele

${(1 + i)}^{5} {(1 - i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$(1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$(1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$(1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.12

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.14

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.15

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.15.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.15.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.15.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.17

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.18

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.18.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.18.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.18.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$(- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 9$ und $5$ .

$(- 4 + 5 i - 10 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $10 i$ von $5 i$ .

$(- 4 - 5 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 5 i$ und $i$ .

$(- 4 - 4 i) {(1 - i)}^{5}$

Schritt 3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$(- 4 - 4 i) (1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.7

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.13

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.14

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.16

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.18

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.20

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.21

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.22

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.23

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.24

Mutltipliziere $i^{4}$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.25

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.25.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.25.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.25.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.26

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5})$

Schritt 4.1.27

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5})$

Schritt 4.1.28

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5})$

Schritt 4.1.29

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i))$

Schritt 4.1.30

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.30.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i))$

Schritt 4.1.30.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i))$

Schritt 4.1.30.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i))$

Schritt 4.1.31

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i)$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$(- 4 - 4 i) (- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i)$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 9$ und $5$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 - 5 i + 10 i - i)$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 5 i$ und $10 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 5 i - i)$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $i$ von $5 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$

Schritt 5

Multipliziere $(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (- 4 + 4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$16 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$16 - 16 i - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 4 i (4 i)$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $- 4 i (4 i)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i i$

Schritt 6.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i)$

Schritt 6.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i^{1})$

Schritt 6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{1 + 1}$

Schritt 6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{2}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$16 - 16 i + 16 i - 16 \cdot - 1$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i + 16$

Schritt 6.2

Addiere $16$ und $16$ .

$32 - 16 i + 16 i$

Schritt 6.3

Addiere $- 16 i$ und $16 i$ .

$32 + 0$

Schritt 6.4

Addiere $32$ und $0$ .

$32$