Algebra Beispiele

${(1 + \sqrt{3} i)}^{2} = a + i b$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ um.

$a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Forme um.

$a + i b = 0 + 0 + {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ als $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ um.

$a + i b = (1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$

Schritt 2.3

Multipliziere $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a + i b = 1 (1 + \sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Schritt 2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$a + i b = 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3} i$ mit $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Schritt 2.4.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Schritt 2.4.1.4

Multipliziere $\sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.4.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i$

Schritt 2.4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i$

Schritt 2.4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i$

Schritt 2.4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i i$

Schritt 2.4.1.4.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)$

Schritt 2.4.1.4.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Schritt 2.4.1.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}$

Schritt 2.4.1.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}$

Schritt 2.4.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Schritt 2.4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Schritt 2.4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Schritt 2.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Schritt 2.4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{1} i^{2}$

Schritt 2.4.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 i^{2}$

Schritt 2.4.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 \cdot - 1$

Schritt 2.4.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - 3$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$a + i b = - 2 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i$

Schritt 2.4.3

Addiere $\sqrt{3} i$ und $\sqrt{3} i$ .

$a + i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Schritt 3

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$ durch $i$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$ durch $i$ .

$\frac{i b}{i} = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{i b}{i} = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- 2}{i}$ mit der Konjugierten von $i$ , um den Nenner reell zu machen.

$b = \frac{- 2}{i} \cdot \frac{i}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1

Kombinieren.

$b = \frac{- 2 i}{i i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.2.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{1} i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.2.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{1} i^{1}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$b = \frac{- 2 i}{i^{1 + 1}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{2}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.2.2.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$b = \frac{- 2 i}{- 1} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 i}{- 1}$ .

$b = - 1 \cdot (- 2 i) + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 i)$ als $- (- 2 i)$ um.

$b = - (- 2 i) + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$b = 2 i + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = 2 i + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.6.2

Dividiere $2 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a}{i}$

Schritt 4.3.1.7

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- a}{i}$ mit der Konjugierten von $i$ , um den Nenner reell zu machen.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 4.3.1.8

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.8.1

Kombinieren.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i i}$

Schritt 4.3.1.8.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.8.2.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1} i}$

Schritt 4.3.1.8.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1} i^{1}}$

Schritt 4.3.1.8.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.1.8.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{2}}$

Schritt 4.3.1.8.2.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{- 1}$

Schritt 4.3.1.9

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{a i}{1}$

Schritt 4.3.1.10

Dividiere $a i$ durch $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + a i$

Schritt 4.3.2

Stelle $2 i$ und $2 \sqrt{3}$ um.

$b = 2 \sqrt{3} + 2 i + a i$