Algebra Beispiele

$\frac{1}{2} \ln (x + 37) = \ln (x^{2} - 25) - \ln (x + 5)$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x + 37)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(x + 37)}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x^{2} - 25) - \ln (x + 5)$

Schritt 2

Vereinfache $\ln (x^{2} - 25) - \ln (x + 5)$ .

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Schritt 2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln ({(x + 37)}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\frac{x^{2} - 25}{x + 5})$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\ln ({(x + 37)}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\frac{x^{2} - 5^{2}}{x + 5})$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\ln ({(x + 37)}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 5})$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln ({(x + 37)}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 5})$

Schritt 2.3.2

Dividiere $x - 5$ durch $1$ .

$\ln ({(x + 37)}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x - 5)$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 12$

Schritt 4