Algebra Beispiele

$4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 \log_{x} (\sqrt{2})}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \log_{x} (\sqrt{2})}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\log_{x} (\sqrt{2})$ durch $1$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{8}$

Schritt 2

Schreibe $\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{8}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{\frac{1}{8}} = \sqrt{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $8$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{8}})}^{8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Schritt 3.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {\sqrt{2}}^{8}$

Schritt 3.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {\sqrt{2}}^{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache ${\sqrt{2}}^{8}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{8}$ als $2^{4}$ um.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(2^{\frac{1}{2}})}^{8}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{2} \cdot 8}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$x = 2^{\frac{8}{2}}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2}}$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2^{\frac{4}{1}}$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$x = 2^{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x = 16$