Algebra Beispiele

$\frac{4 x^{2} - 324}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \div \frac{9 - x}{25 - x^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{4 x^{2} - 324}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 324$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) - 324}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 324$ heraus.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 81}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot - 81$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 81)}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 2.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{4 (x^{2} - 9^{2})}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 9$ .

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 45$ und deren Summe $4$ ist.

$- 5, 9$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{x (- x) - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{x (- x) + x \cdot - 5} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot - 5$ heraus.

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{x (- x - 5)} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 9$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{x (- x - 5)} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (x - 9)}{x - 5} \cdot \frac{4}{x (- x - 5)} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{4 (x - 9)}{x - 5} \cdot \frac{4}{x (- x - 5)}$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{4 (x - 9)}{x - 5}$ mit $\frac{4}{x (- x - 5)}$ .

$\frac{4 (x - 9) \cdot 4}{(x - 5) (x (- x - 5))} \cdot \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 (x - 9)}{(x - 5) (x (- x - 5))} \cdot \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{16 (x - 9)}{(x - 5) x (- x - 5)} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{9 - x}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\frac{16 (x - 9)}{(x - 5) x (- x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{9 - x}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{16 (x - 9)}{(x - 5) x (- x - 5)}$ mit $\frac{(5 + x) (5 - x)}{9 - x}$ .

$\frac{16 (x - 9) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (9 - x)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 9$ und $9 - x$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{16 (- 1 (- x) - 9) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (9 - x)}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{16 (- 1 (- x) - 1 (9)) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (9 - x)}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{16 (- 1 (- x + 9)) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (9 - x)}$

Schritt 7.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{16 (- 1 (- x + 9)) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (- x + 9)}$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (- 1 (- x + 9)) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (- x + 9)}$

Schritt 7.2.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 \cdot (- 1) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 + x$ und $- x - 5$ .

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Schritt 7.3.1

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{16 \cdot (- 1) ((- 1 (- 5) + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{16 \cdot (- 1) ((- 1 (- 5) - 1 (- x)) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 5) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 5 - x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Schritt 7.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- x - 5) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Schritt 7.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- x - 5) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Schritt 7.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (5 - x))}{(x - 5) x}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 - x$ und $x - 5$ .

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Schritt 7.4.1

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (- 5) - x))}{(x - 5) x}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (- 5) - (x)))}{(x - 5) x}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 5) - (x)$ heraus.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (- 5 + x)))}{(x - 5) x}$

Schritt 7.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (x - 5)))}{(x - 5) x}$

Schritt 7.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (x - 5)))}{(x - 5) x}$

Schritt 7.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 \cdot (- 1))}{x}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{- 16 (- 1 \cdot (- 1))}{x}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{x}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{- 16}{x}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{x}$