Algebra Beispiele

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

Schritt 1

Setze $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ gleich $0$ .

$- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} + 125$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- (x^{3}) + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $125$ als $- 1 (- 125)$ um.

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - 1 (- 125)$ heraus.

$- (x^{3} - 125) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$- (x^{3} - 5^{3}) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x^{2} - 75 x$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) - 75 x = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $15 x$ aus $- 75 x$ heraus.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (- 5) = 0$

Schritt 2.1.6.3

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x (x) + 15 x (- 5)$ heraus.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x - 5$ aus $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ heraus.

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x - 5$ aus $15 x (x - 5)$ heraus.

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x)$ heraus.

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x) = 0$

Schritt 2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 5) (- 1 x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Schritt 2.1.9

Vereinfache.

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Schritt 2.1.9.1

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(x - 5) (- x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 25 + 15 x) = 0$

Schritt 2.1.10

Addiere $- 5 x$ und $15 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 x - 25) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.11.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 2.1.11.1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$(x - 5) (- x^{2} + 10 (x) - 25) = 0$

Schritt 2.1.11.1.1.2

Schreibe $10$ um als $5$ plus $5$

$(x - 5) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25) = 0$

Schritt 2.1.11.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 5) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25) = 0$

Schritt 2.1.11.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.11.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 5) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25) = 0$

Schritt 2.1.11.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 5) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5)) = 0$

Schritt 2.1.11.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 5$ .

$(x - 5) ((- x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$(- 1 (- x) - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$(- 1 (- x) - 1 \cdot 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (5)$ heraus.

$- 1 (- x + 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.4

Potenziere $- x + 5$ mit $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.5

Potenziere $- x + 5$ mit $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 {(- x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 {(- x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- 1 {(- (x) + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.9

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- 1 {(- (x) - 1 \cdot - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 5)$ heraus.

$- 1 {(- (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.11

Schreibe $- (x - 5)$ als $- 1 (x - 5)$ um.

$- 1 {(- 1 (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.12

Wende die Produktregel auf $- 1 (x - 5)$ an.

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 (1 {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.14

Mutltipliziere ${(x - 5)}^{2}$ mit $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Schritt 2.1.12.15

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$- 1 ((x - 5) {(x - 5)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.12.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 2} = 0$

Schritt 2.1.12.17

Addiere $1$ und $2$ .

$- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 {(x - 5)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere ${(x - 5)}^{3}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 5)}^{3} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$ (Vielfachheit von $3$ )

Schritt 3