Algebra Beispiele

$v (R) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$

Schritt 1

Schreibe $v (R) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$G = \sqrt{\frac{2 y M}{R}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{\frac{2 y M}{R}} = G$ um.

$\sqrt{\frac{2 y M}{R}} = G$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{2 y M}{R}}}^{2} = G^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{2 y M}{R}}$ als ${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = G^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = G^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = G^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{2 y M}{R})}^{1} = G^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{2 y M}{R} = G^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere beide Seiten mit $R$ .

$\frac{2 y M}{R} R = G^{2} R$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $R$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y M}{R} R = G^{2} R$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y M = G^{2} R$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y M = G^{2} R$ durch $2 M$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y M = G^{2} R$ durch $2 M$ .

$\frac{2 y M}{2 M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y M}{2 M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y M}{M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Schritt 3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $M$ .

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Schritt 3.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y M}{M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Schritt 3.4.3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $v^{- 1} (G)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$ die Umkehrfunktion von $v (G) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $v^{- 1} (v (G)) = G$ ist und $v (v^{- 1} (G)) = G$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $v^{- 1} (v (G))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$v^{- 1} (v (G))$

Schritt 5.2.2

Berechne $v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}})$ durch Einsetzen des Wertes von $v$ in $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\sqrt{\frac{2 G M}{R}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ als $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ um.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ mit $\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}} \cdot \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ mit $\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.2

Potenziere $\sqrt{R}$ mit $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{R}$ mit $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{\sqrt{R}}^{1 + 1}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{\sqrt{R}}^{2}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{R}}^{2}$ als $R$ um.

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Schritt 5.2.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{R}$ als $R^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{(R^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{2}{2}}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{2}{2}}})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.3.6.5

Vereinfache.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 G M R}}{R}$ an.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{\sqrt{2 G M R}}^{2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{2 G M R}}^{2}$ als $2 G M R$ um.

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Schritt 5.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 G M R}$ als ${(2 G M R)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{({(2 G M R)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{2}{2}}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{2}{2}}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.6.5

Vereinfache.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $R$ und $R^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Faktorisiere $R$ aus $2 G M R$ heraus.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.7.2.1

Faktorisiere $R$ aus $R^{2}$ heraus.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R \cdot R} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R \cdot R} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M}{R} \cdot R}{2 M}$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $\frac{2 G M}{R}$ und $R$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R}}{2 M}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 G M R}{R}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R}}{2 M}$

Schritt 5.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M}{1}}{2 M}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $2 G M$ durch $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{2 G M}{2 M}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{2 G M}{2 M}$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{G M}{M}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $M$ .

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Schritt 5.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{G M}{M}$

Schritt 5.2.7.2

Dividiere $G$ durch $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = G$

Schritt 5.3

Berechne $v (v^{- 1} (G))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$v (v^{- 1} (G))$

Schritt 5.3.2

Berechne $v (\frac{G^{2} R}{2 M})$ durch Einsetzen des Wertes von $v^{- 1}$ in $v$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{2 (\frac{G^{2} R}{2 M}) \cdot \frac{M}{R}}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{G^{2} R}{2 M}$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 (G^{2} R)}{2 M} \cdot \frac{M}{R}}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $\frac{2 (G^{2} R)}{2 M}$ mit $\frac{M}{R}$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 (G^{2} R) M}{2 M R}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 G^{2} R M}{2 M R}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 G^{2} R M}{2 M R}}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} R M}{M R}}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $R$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} R M}{M R}}$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} M}{M}}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $M$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} M}{M}}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $G^{2}$ durch $1$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{G^{2}}$

Schritt 5.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = G$

Schritt 5.4

Da $v^{- 1} (v (G)) = G$ und $v (v^{- 1} (G)) = G$ gleich sind, ist $v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $v (G) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ .

$v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$