Algebra Beispiele

$2 \log (x) < \log (2 - x)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 \log (x) = \log (2 - x)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2}) = \log (2 - x)$

Schritt 2.2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} = 2 - x$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x = 2$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 2 = 0$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 2.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.3.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (\frac{x^{2}}{2 - x})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (\frac{x^{2}}{2 - x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{x^{2}}{2 - x} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 3.2.5

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 3.2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 2$

Schritt 3.2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 2$

Schritt 3.2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2}}{2 - x}$ .

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Schritt 3.2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{2 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x = 0$

Schritt 3.2.8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.8.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 3.2.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.8.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.8.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.8.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 3.2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 3.2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 3.2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 3.2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 2)}^{2}}{2 - (- 2)} > 0$

Schritt 3.2.10.1.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 3.2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(1)}^{2}}{2 - (1)} > 0$

Schritt 3.2.10.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2}}{2 - (4)} > 0$

Schritt 3.2.10.3.3

Die linke Seite $- 8$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 3.2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $0 < x < 2$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{2 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x = 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \log (- 4) < \log (2 - (- 4))$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \log (0) < \log (2 - (0))$

Schritt 5.2.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.2.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.2.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \log (4) < \log (2 - (4))$

Schritt 5.3.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.3.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.3.3.2

Die rechte Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

Schritt 6

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung