Algebra Beispiele

$\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}} = 32^{x + 3}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}}}^{2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}}$ als ${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{1} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(32^{x + 3})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{(x + 3) \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{x \cdot 2 + 3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{2 \cdot x + 3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{2 x + 6}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe $2^{x}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$8^{x - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Schritt 3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${(2^{3})}^{x - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{x - 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (x - 1)} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2^{3 x + 3 \cdot - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2^{3 x - 3} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{3 x - 3 - x} = 32^{2 x + 6}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$2^{2 x - 3} = 32^{2 x + 6}$

Schritt 3.6

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{2 x - 3} = 2^{5 (2 x + 6)}$

Schritt 3.7

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x - 3 = 5 (2 x + 6)$

Schritt 3.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache $5 (2 x + 6)$ .

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Schritt 3.8.1.1

Forme um.

$2 x - 3 = 0 + 0 + 5 (2 x + 6)$

Schritt 3.8.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 x - 3 = 5 (2 x + 6)$

Schritt 3.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 3 = 5 (2 x) + 5 \cdot 6$

Schritt 3.8.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.8.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 x - 3 = 10 x + 5 \cdot 6$

Schritt 3.8.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$2 x - 3 = 10 x + 30$

Schritt 3.8.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.8.2.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 3 - 10 x = 30$

Schritt 3.8.2.2

Subtrahiere $10 x$ von $2 x$ .

$- 8 x - 3 = 30$

Schritt 3.8.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.8.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x = 30 + 3$

Schritt 3.8.3.2

Addiere $30$ und $3$ .

$- 8 x = 33$

Schritt 3.8.4

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = 33$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = 33$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{33}{- 8}$

Schritt 3.8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 3.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{33}{- 8}$

Schritt 3.8.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{33}{- 8}$

Schritt 3.8.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{33}{8}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{33}{8}$

Dezimalform:

$x = - 4.125$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 4 \frac{1}{8}$