Algebra Beispiele

$2^{x^{2} - 4} = 3^{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (2^{x^{2} - 4}) = \ln (3^{x^{2} - 4})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (2^{x^{2} - 4})$ durch Herausziehen von $x^{2} - 4$ aus dem Logarithmus.

$(x^{2} - 4) \ln (2) = \ln (3^{x^{2} - 4})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (3^{x^{2} - 4})$ durch Herausziehen von $x^{2} - 4$ aus dem Logarithmus.

$(x^{2} - 4) \ln (2) = (x^{2} - 4) \ln (3)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x^{2} - 4) \ln (2)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x^{2} - 4) \ln (2) = (x^{2} - 4) \ln (3)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x^{2} - 4) \ln (2) = (x^{2} - 4) \ln (3)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \ln (2) - 4 \ln (2) = (x^{2} - 4) \ln (3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \ln (2) - 4 \ln (2) = x^{2} \ln (3) - 4 \ln (3)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x^{2} \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \ln (2) - 4 \ln (2) - x^{2} \ln (3) = - 4 \ln (3)$

Schritt 4.4

Addiere $4 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \ln (2) - x^{2} \ln (3) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \ln (2) - x^{2} \ln (3)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2} \ln (3)$ heraus.

$x^{2} \ln (2) + x^{2} (- 1 \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \ln (2) + x^{2} (- 1 \ln (3))$ heraus.

$x^{2} (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x^{2} (\ln (2) - \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} (\ln (2) - \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$ durch $\ln (2) - \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} (\ln (2) - \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$ durch $\ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x^{2} (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} = \frac{- 4 \ln (3) + 4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 4.7.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$ heraus.

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Schritt 4.7.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \ln (3)$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3)) + 4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 4.7.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \ln (2)$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3)) + 4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 4.7.3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- \ln (3)) + 4 \ln (2)$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3) + \ln (2))}{\ln (2) - \ln (3)}$

Schritt 4.7.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \ln (3) + \ln (2)$ und $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Schritt 4.7.3.3.1

Stelle die Terme um.

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)}$

Schritt 4.7.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)}$

Schritt 4.7.3.3.3

Dividiere $4$ durch $1$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 4.8

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 4.9

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 4.10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 4.10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 4.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$