Algebra Beispiele

$\log_{3} (2 x^{2} + 7) - \log_{3} (3 x + 6) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 x + 6}) = 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 (x) + 6}) = 1$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 x + 3 \cdot 2}) = 1$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 (x + 2)}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 (x + 2)}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{2 x^{2} + 7}{3 (x + 2)}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 x^{2} + 7 = 3 (3 (x + 2))$

Schritt 4

Vereinfache $3 (3 (x + 2))$ .

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 7 = 3 (3 x + 3 \cdot 2)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 7 = 3 (3 x + 6)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 7 = 3 (3 x) + 3 \cdot 6$

Schritt 4.4

Multipliziere.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$2 x^{2} + 7 = 9 x + 3 \cdot 6$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$2 x^{2} + 7 = 9 x + 18$

Schritt 5

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 7 - 9 x = 18$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} - 9 x + 7 = 18$

Schritt 6.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$2 x^{2} - 9 x + 7 = 18$

Schritt 6.2.2

Schreibe $- 9$ um als $- 2$ plus $- 7$

$2 x^{2} + (- 2 - 7) x + 7 = 18$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 2 x - 7 x + 7 = 18$

Schritt 6.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 2 x) - 7 x + 7 = 18$

Schritt 6.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (x - 1) - 7 (x - 1) = 18$

Schritt 6.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x - 7) = 18$

Schritt 7

Vereinfache $(x - 1) (2 x - 7)$ .

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Schritt 7.1

Multipliziere $(x - 1) (2 x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x - 7) - 1 (2 x - 7) = 18$

Schritt 7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 7 - 1 (2 x - 7) = 18$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Schritt 7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Schritt 7.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Schritt 7.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Schritt 7.2.1.3

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 7 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} - 7 x - 2 x - 1 \cdot - 7 = 18$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$2 x^{2} - 7 x - 2 x + 7 = 18$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 7 x$ .

$2 x^{2} - 9 x + 7 = 18$

Schritt 8

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 9 x + 7 - 18 = 0$

Schritt 9

Subtrahiere $18$ von $7$ .

$2 x^{2} - 9 x - 11 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 11 = - 22$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$2 x^{2} - 9 x - 11 = 0$

Schritt 10.1.2

Schreibe $- 9$ um als $2$ plus $- 11$

$2 x^{2} + (2 - 11) x - 11 = 0$

Schritt 10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x - 11 x - 11 = 0$

Schritt 10.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 2 x) - 11 x - 11 = 0$

Schritt 10.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (x + 1) - 11 (x + 1) = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 11) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 11 = 0$

Schritt 12

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 13

Setze $2 x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $2 x - 11$ gleich $0$ .

$2 x - 11 = 0$

Schritt 13.2

Löse $2 x - 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 11$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 11$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 11$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{11}{2}$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (2 x - 11) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{11}{2}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1, \frac{11}{2}$

Dezimalform:

$x = - 1, 5.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 1, 5 \frac{1}{2}$