Algebra Beispiele

$7 x^{\frac{12}{7}} - 448 x^{\frac{6}{7}} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{12}{7}}$ als ${(x^{\frac{6}{7}})}^{2}$ um.

$7 {(x^{\frac{6}{7}})}^{2} - 448 x^{\frac{6}{7}} = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{\frac{6}{7}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{6}{7}}$ .

$7 u^{2} - 448 u = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $7 u$ aus $7 u^{2} - 448 u$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $7 u$ aus $7 u^{2}$ heraus.

$7 u (u) - 448 u = 0$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $7 u$ aus $- 448 u$ heraus.

$7 u (u) + 7 u (- 64) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $7 u$ aus $7 u (u) + 7 u (- 64)$ heraus.

$7 u (u - 64) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{6}{7}}$ .

$7 x^{\frac{6}{7}} (x^{\frac{6}{7}} - 64) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{6}{7}} = 0$

$x^{\frac{6}{7}} - 64 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{\frac{6}{7}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{\frac{6}{7}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{6}{7}} = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{\frac{6}{7}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{7}{6}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}} = \pm 0^{\frac{7}{6}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}} = \pm 0^{\frac{7}{6}}$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}} = \pm 0^{\frac{7}{6}}$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = \pm 0^{\frac{7}{6}}$

Schritt 3.2.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = \pm 0^{\frac{7}{6}}$

Schritt 3.2.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{7}{6}}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 0^{\frac{7}{6}}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache $\pm 0^{\frac{7}{6}}$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{6}$ um.

$x = \pm {(0^{6})}^{\frac{7}{6}}$

Schritt 3.2.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{6 (\frac{7}{6})}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 0^{6 (\frac{7}{6})}$

Schritt 3.2.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 0^{7}$

Schritt 3.2.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.2.1.4

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x^{\frac{6}{7}} - 64$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{\frac{6}{7}} - 64$ gleich $0$ .

$x^{\frac{6}{7}} - 64 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{\frac{6}{7}} - 64 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{6}{7}} = 64$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{7}{6}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache $\pm 64^{\frac{7}{6}}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.2.1.1.1

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$x = \pm {(2^{6})}^{\frac{7}{6}}$

Schritt 4.2.3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{6 (\frac{7}{6})}$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 2^{6 (\frac{7}{6})}$

Schritt 4.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 2^{7}$

Schritt 4.2.3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $7$ .

$x = \pm 128$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 128$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 128$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 128, - 128$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $7 x^{\frac{6}{7}} (x^{\frac{6}{7}} - 64) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 128, - 128$