Algebra Beispiele

$x^{2} - 3 x - 2 = | x - 1 |$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $| x - 1 | = x^{2} - 3 x - 2$ um.

$| x - 1 | = x^{2} - 3 x - 2$

Schritt 2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (x^{2} - 3 x - 2)$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 1 = x^{2} - 3 x - 2$

Schritt 3.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 3 x - 2 = x - 1$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 1$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 1$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x - 2 + 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Schritt 3.9

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 1 = - (x^{2} - 3 x - 2)$

Schritt 3.10

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Schritt 3.11

Vereinfache $- (x^{2} - 3 x - 2)$ .

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Schritt 3.11.1

Forme um.

$0 + 0 - (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Schritt 3.11.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Schritt 3.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - (- 3 x) - - 2 = x - 1$

Schritt 3.11.4

Vereinfache.

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Schritt 3.11.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + 3 x - - 2 = x - 1$

Schritt 3.11.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- x^{2} + 3 x + 2 = x - 1$

Schritt 3.12

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.12.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 3 x + 2 - x = - 1$

Schritt 3.12.2

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 2 = - 1$

Schritt 3.13

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 2 x + 2 + 1 = 0$

Schritt 3.14

Addiere $2$ und $1$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Schritt 3.15

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.15.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 2 x + 3$ heraus.

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Schritt 3.15.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Schritt 3.15.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Schritt 3.15.1.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.15.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.15.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Schritt 3.15.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.15.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.15.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 3.15.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Schritt 3.15.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 3.16

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.17

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.17.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.17.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.18

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.18.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.18.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.19

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

Schritt 3.20

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}, 3, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $x^{2} - 3 x - 2 = | x - 1 |$ nicht erfüllen.

$x = 2 + \sqrt{5}, - 1$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2 + \sqrt{5}, - 1$

Dezimalform:

$x = 4.23606797 \dots, - 1$